Question

椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．
（Ⅰ）当|CD|=时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．

Answer

（Ⅰ）根据椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），焦点F（0，1），可知椭圆的焦点在y轴上，b=1，c=1，，可以求得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可求出直线l的方程；
（Ⅱ）根据过其焦点F（0，1）的直线l的方程可求出点P的坐标，该直线与椭圆交于C、D两点，和直线AC与直线BD交于点Q，求出直线AC与直线BD的方程，解该方程组即可求得点Q的坐标，代入即可证明结论．
【解析】
（Ⅰ）∵椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），
由已知得b=1，c=1，所以a=，
椭圆的方程为，
当直线l与x轴垂直时与题意不符，
设直线l的方程为y=kx+1，C（x1，y1），D（x2，y2），
将直线l的方程代入椭圆的方程化简得（k2+2）x2+2kx-1=0，
则x1+x2=-，x1•x2=-，
∴|CD|==
==，
解得k=．
∴直线l的方程为y=x+1；
（Ⅱ）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符，
设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），

∴P点的坐标为（-，0），
由（Ⅰ）知x1+x2=-，x1•x2=-，
且直线AC的方程为y=，且直线BD的方程为y=，
将两直线联立，消去y得，
∵-1＜x1，x2＜1，∴与异号，
=
=，
y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1==-，
∴与y1y2异号，与同号，
∴=，解得x=-k，
故Q点坐标为（-k，y），
=（-，0）•（-k，y）=1，
故为定值．