Question

过椭圆C：=1（a＞b＞0）上的动点P向圆0：x²+y²=b²引两条切线PA，PB，设切点分别是A，B，若直线AB与x轴，y轴分别交于M，N两点，则△MON面积的最小值是    ．

Answer

设点P（x，y），以|OP|为直径的圆的方程为=0，与⊙O的方程x2+y2=b2相减得，即是过切点A，B的直线方程，进而得到点M，N的坐标，利用两点间的距离公式可得|MN|，利用点到直线的距离公式可得点O到直线MN的距离d，进而得到三角形OMN的面积，S△OMN==，
利用点P在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，及其基本不等式可得=2ab|xy|，进而得到△MON面积的最小值．
【解析】
设点P（x，y），则以|OP|为直径的圆的方程为=0，
与⊙O的方程x2+y2=b2相减得，即是过切点A，B的直线方程，（xy≠0）．
令x=0，得，∴N；令y=0，得，∴M．
∴=，
点O到直线MN的距离d=，
∴S△OMN==，
∵点P在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，
∴=2ab|xy|，当且仅当|bx|=|ay|时取等号．
∴2|xy|≤ab，
∴S△OMN=．
故△MON面积的最小值是．
故答案为．