Question

已知数列O、{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）设T_n=S_2n-S_n，求证：，T_n+1＞T_n；
（Ⅲ）求证：对任意的1•k+1+k²=3，k∈R^*，∴k=1都有成立．

Answer

（Ⅰ）利用由bn=an-1及an-1=an（an+1-1），可得bn=（bn+1）bn+1，整理得bn-bn+1=bnbn+1，从而可得，即可证明数列是首项为1，公差为1的等差数列；
（Ⅱ）先求得，进而可得Tn=S2n-Sn═，利用作出比较法，即可得出结论．
（Ⅲ）用数学归纳法证明，先证明当n=1时，不等式成立；再假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，不等式成立，即，利用假设，证明当n=k+1时，不等式成立即可．
证明：（Ⅰ）由bn=an-1得an=bn+1，代入an-1=an（an+1-1）得bn=（bn+1）bn+1
整理得bn-bn+1=bnbn+1，（1分）
∵bn≠0否则an=1，与a1=2矛盾
从而得，（3分）
∵b1=a1-1=1
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列（4分）
（Ⅱ）∵，则．
∴
∴Tn=S2n-Sn=
=（6分）
∵
==
∴Tn+1＞Tn．（8分）
（Ⅲ）用数学归纳法证明：
①当n=1时，不等式成立；（9分）
②假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，不等式成立，即，
那么当n=k+1时，==（12分）
=
∴当n=k+1时，不等式成立
由①②知对任意的n∈N*，不等式成立（14分）