Question

已知展开式的前三项系数成等差数列．则（1）n=    ；（2）展开式的一次项是    ；（3）展开式中的有理项是    ．

Answer

首先利用二项展开式的前三项系数成等差数列，由等差数列的特性列出关于n的方程，求出n的值，然后写出通项公式并进行化简，令字母的指数符合所需要的条件，从而确定特定项．
【解析】
（1）∵展开式的前三项系数成等差数列，
∴+=2×，
∴1+×=n，
整理得n2-9n+8=0，n1=1（舍去），n2=8，
∴n=8．
（2）∵Tr+1=×=，
∴令4-r=1得r=4．
∴T5=x=×x=x，
∴展开式的一次项是x．
（3）当令4-r∈Z时，Tr+1为有理项，因为0≤r≤8且r∈Z，
所以r=0，4，8符合要求．
故有理项有3项，分别是T1=x4，T5=x，T9=x-2．
故答案为（1）8；（2）x；（3）x4，x，x-2．