Question

如图所示，把一个圆分成n（n≥2）个扇形，依次记为S₁、S₂、…、S_n-1，每一个扇形可用红、黄、蓝三种颜色中的任一种涂色，但要求相邻扇形的颜色互不相同，问一共有多少种涂色方法？

Answer

分类讨论，利用当n＞2时，S1有3种涂法，S2有两种涂法，S3、…、Sn，依次有两种涂法，故共有3×2n-1种涂法，但其中Sn与S1的颜色相同时有an-1种涂法，故（n＞2），即可得到结论．
【解析】
设分成n个扇形时，涂法的总数为an（n≥2）
n=2时，S1有3种涂法，S2与S1的颜色不能相同，故对于S1的每一种涂法，S2仅有两种涂法，故共有a2=3×2=6种涂法；
当n＞2时，S1有3种涂法，S2有两种涂法，S3、…、Sn，依次有两种涂法，故共有3×2n-1种涂法，但其中Sn与S1的颜色相同时有an-1种涂法，故（n＞2）
∴=-（）
∴{}是首项为，公比为-的等比数列
∴=
∴（n≥2）
∴一共有2[2n-1+（-1）n]（n≥2）种涂色方法．