等比数列{an}的公比为q，前n项的积为Tn，并且满足a1＞1，a2009•a2...

等比数列{a_n}的公比为q，前n项的积为T_n，并且满足a₁＞1，a₂₀₀₉•a₂₀₁₀-1＞0，（a₂₀₀₉-1）（a₂₀₁₀-1）＜0，给出下列结论①0＜q＜1；②a₂₀₀₉•a₂₀₁₁＜1；③T₂₀₁₀是T_n中最大的；④使得T_n＞1成立的最大的自然数是4018．其中正确结论的序号为．（将你认为正确的全部填上）

根据（a2009-1）（a2010-1）＜0判断出a2009＜1或a2010＜1，先看a2009＜1，则可知a2010＞1假设a2009＜0，那么q＜0，则可知a2010应与a1异号，推断出a2010＜0与a2010＞1矛盾，假设不成立，推断出q＞0，根据a2009=a1q2008应推断出a2009=a1q2008应该大于1假设不成立，进而综合可推断0＜q＜1判断出①正确．由结论（1）可知数列从2010项开始小于1，进而可推断出T2009是Tn中最大的③不正确，根据等比中项的性质可知a2009•a2011=a22010＜1推断出②正确．根据等比中项的性质可知当Tn=（a2009）2时，Tn＞1成立的最大的自然数，求的n推断出④正确．【解析】 ∵（a2009-1）（a2010-1）＜0 ∴a2009＜1或a2010＜1 如果a2009＜1，那么a2010＞1 如果a2009＜0，那么q＜0 又a2010=a1q2009，所以a2010应与a1异号，即a2010＜0 和前面a2010＞1的假设矛盾了 ∴q＞0 又或者a2009＜1，a2010＞1，那么a2009=a1q2008应该大于1 又矛盾了．因此q＜1 综上所述 0＜q＜1，故①正确 a2009•a2011=a22010＜1故②正确．，由结论（1）可知数列从2010项开始小于1 ∴T2009为最大项③不正确．由结论1可知数列由2010项开始小于1， Tn=a1a2a3…an ∵数列从第2010项开始小于1， ∴当Tn=（a2009）2时，Tn＞1成立的最大的自然数求得n=4018，故④正确．故答案为：①②④

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考点分析：

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试题属性

题型：填空题
难度：中等