已知函数f（x）=（x∈R）．（1）当f（1）=1时，求函数f（x）的单调区间...

已知函数f（x）=

（x∈R）．
（1）当f（1）=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设关于x的方程f（x）= manfen5.com 满分网

的两个实根为x₁，x₂，且-1≤a≤1，求|x₁-x₂|的最大值；
（3）在（2）的条件下，若对于[-1，1]上的任意实数t，不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，求实数m的取值范围．

（1）先由f（1）=1解得a，用导数法研究单调性；（2）方程f（x）=可化为x2-ax-2=0，△=a2+8＞0，可知方程x2-ax-2=0有两不同的实根x1，x2，再由韦达定理建立|x1-x2|==模型求解；（3）若不等式m2+tm+1≥|x1-x2|恒成立，结合（2）可转化为m2+tm-2≥0，t∈[-1，1]都成立，再求g（t）=m2+tm-2最小值即可．【解析】（1）由f（1）=1得a=-1， f′（x）===≥0 -2≤x≤1，所以f（x）的减区间是（-∞，-2]和[1，+∞），增区间是[-2，1]（5分）（2）方程f（x）=可化为x2-ax-2=0，△=a2+8＞0 ∴x2-ax-2=0有两不同的实根x1，x2，则x1+x2=a，x1x2=-2 ∴|x1-x2|== ∵-1≤a≤1，∴当a=±1时， ∴|x1-x2|max==3 （3）若不等式m2+tm+1≥|x1-x2|恒成立，由（2）可得m2+tm+1≥3，对t∈[-1，1]都成立m2+tm-2≥0，t∈[-1，1]，设g（t）=m2+tm-2 若使t∈[-1，1]时g（t）≥0都成立，则解得：m≥2或m≤-2，所以m的取值范围是m≥2或m≤-2

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考点分析：

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已知x＞

，函数f（x）=x²，h（x）=2e lnx（e为自然常数）．
（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）；
（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g（x）的“边界”．已知函数g（x）=-4x²+px+q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．

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已知函数f（x）=lnx- manfen5.com 满分网