Question

设x，y∈R，、，为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若向量=x+（y+2），=x+（y-2），且||+||=8．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点．设=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为菱形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据向量模的公式以及坐标系内两点间的距离公式，可得动点M（x，y）到定点F1（0，-2）、F2（0，2）的距离之和等于8（常数），由此结合椭圆的定义得到M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，可得轨迹C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为y=kx+3，将l方程与椭圆C消去y得关于x的方程，得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及直线l方程得x1+x2=且y1+y2=．再根据平行四边形OAPB为菱形，得到||=||，利用向量模的公式化简结合前面的等式可得关于k的方程，解之得k=0．由此可得存在直线y=3使得四边形OAPB为菱形．
【解析】
（1）∵=x+（y+2），=x+（y-2）
∴||=，||=
设F1（0，-2），F2（0，2），动点M（x，y），可得||、||分别表示点M到F1、F2的距离．
∵||+||=8，即M到F1、F2的距离之和等于8，
∴点M（x，y）的轨迹C是以F1（0，-2），F2（0，2）为焦点，长轴长为8的椭圆，
可得a=4，c=2，b2=a2-c2=12，
可得椭圆方程为，即为点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）由于直线l过点（0，3），故
①当直线l为y轴时，A、B为椭圆的顶点，可得=+=
此时点P与原点重合，不符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）
由消去y，得（4+3k2）x2+18kx-21=0
此时△=（18k）2-4（4+3k2）•（-21）=576k2+336＞0恒成立
x1+x2=，代入直线得y1+y2=k（x1+x2）+6=
∵=+，∴四边形OAPB是平行四边形，
若四边形OAPB是菱形，则||=||
∵=（x1，y1），=（x2，y2）
∴+=+，化简得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0
 可得l的斜率k==-=-=-
解之得k=0，因此存在直线y=3，使得四边形OAPB为菱形．