Question

已知函数f（x）满足：f（1）=，f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）（x，y∈R），则f（i）=（ ）
A．-1
B．0
C．
D．1

Answer

令x=1，y=0，可求得f（0）；再令y=1，可得f（x+1）=f（x）-f（x-1），f（x+2）=-f（x-1），从而可得函数f（x）是以6为周期的周期函数，分别求得f（i）（i=2，3，4，5，6）的值，利用其周期性即可求得f（i）．
【解析】
令x=1，y=0，则2f（1）f（0）=f（1+0）+f（1-0）=2f（1），
所以f（0）=1．
令y=1，得f（x）=f（x+1）+f（x-1），即f（x+1）=f（x）-f（x-1），
由此得f（x+2）=f（x+1）-f（x）=f（x）-f（x-1）-f（x）=-f（x-1），
以x+1代替x，得f（x+3）=-f（x），由此可得f（x+6）=-f（x+3）=f（x），
即函数f（x）是以6为周期的周期函数，又f（x+1）=f（x）-f（x-1），
得f（2）=f（1）-f（0）=-，
f（3）=f（2）-f（1）=--=-1，
f（4）=f（3）-f（2）=-1+=-，
f（5）=f（4）-f（3）=-+1=，
f（6）=f（5）-f（4）=-（-）=1，
即一个周期内的整点函数值是，-，-1，-，，1，其和为0，
又2010=6×335，
故f（i）=f（0）+f（i）=1．