Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
①求证：数列{lga_n}是等差数列；
②设b_n=求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

①利用an与Sn的关系即可得到an，从而=1，即可得到数列{lgan}是以lga1=lg10=1为首项，1为公差的等差数列；
②由①可得：，lgan+1=n+1，=3，利用裂项求和即可得到Tn．
【解析】
①当n=1时，a2=9S1+10=9×10+10=100；
当n≥2时，由an+1=9Sn+10，an=9Sn-1+10，
可得an+1-an=9an，即an+1=10an，此式对于n=1时也成立．
∴数列{an}是以10为首项，10为公比的等比数列，
∴．
∴=1，
∴数列{lgan}是以lga1=lg10=1，为首项，1为公差的等差数列；
②由①可得：，lgan+1=n+1，
∴=3，
∴Tn===．