Question

已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，一个焦点是F（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）直线l过点F交椭圆于A、B两点，且，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）设椭圆方程，确定几何量，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量条件，即可求得直线方程．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆方程为（a＞b＞0）．
依题意，e==，c=1，∴a=2，b2=a2-c2=3，
∴所求椭圆方程为；
（Ⅱ）若直线l的斜率k不存在，则不满足．
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=kx+1．
因为直线l过椭圆的焦点F（0，1），所以k取任何实数，直线l与椭圆均有两个交点A、B．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程消去y，得（3k2+4）x2+6kx-9=0．
∴x1+x2=，①x1•x2=，②
由F（0，1），A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
∵，∴（-x1，1-y1）=2（x2，y2-1），得x1=-2x2．
将x1=-2x2代入①、②，得，③，④
由③、④得，，化简得=，
解得，∴k=±
∴直线l的方程为：y=±x+1．