Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，a₁=1，且a₁，a₂，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）设b_n=，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：2T_n-9b_n-1+18＞（n＞1）．

Answer

（1）由题意知，（a1+d）2=a1（a1+6d），由此能够推出Sn=na1+d=n+2n（n-1）=2n2-n．
（2）证明：由题设条件可以推出{bn}是首项为2，公差为2的等差数列，所以Tn==n2+n，由此入手能够得到．
【解析】
（1）∵a1，a2，a7成等比数列，
∴a22=a1•a7，即（a1+d）2=a1（a1+6d），
又a1=1，d≠0，∴d=4．
∴Sn=na1+d=n+2n（n-1）=2n2-n．
（2）证明：由（1）知bn===2n，
∴{bn}是首项为2，公差为2的等差数列，
∴Tn==n2+n，
∴2Tn-9bn-1+18=2n2+2n-18（n-1）+18
=2n2-16n+36=2（n2-8n+16）+4=2（n-4）2+4≥4，当且仅当n=4时取等号．①
=
当且仅当即n=3时，取等号．②
∵①②中等号不能同时取到，∴．