Question

已知数列{a_n}是等比数列，a₁=2，a₃=18．数列{b_n}是等差数列，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃＞20．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2，Q_n=b₁₀+b₁₂+b₁₄+…+b_2n+8，其中n=1，2，3，…．试比较P_n与Q_n的大小，并证明你的结论．

Answer

（1）由等比数列通项公式，结合题意算出数列{an}的公比q=±3．讨论可得当q=-3时与题意矛盾，故q=3可得an=2×3n-1．由此得到{bn}的前4项和等于a1+a2+a3=26，利用等差数列的通项公式算出公差d=3，得bn=3n-1；
（2）根据等差数列的性质，可得b1，b4，b7，…，b3n-2和b10，b12，b14，…，b2n+8分别组成以3d、2d为公差的等差数列，由等差数列求和公式算出Pn=n2-n、Qn=3n2+26n．作差后，因式分解得Pn-Qn=n（n-19），结合n为正整数加以讨论，即可得到Pn与Qn的大小关系，从而使本题得到解决．
【解析】
（1）设{an}的公比为q，由a3=a1q2得q2==9，q=±3．
①当q=-3时，a1+a2+a3=2-6+18=14＜20，
这与a1+a2+a3＞20矛盾，故舍去．
②当q=3时，a1+a2+a3=2+6+18=26＞20，故符合题意．
∴an=a1qn-1=2×3n-1
设数列{bn}的公差为d，由b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3=26，
得4b1+d=26，结合b1=2，解之得d=3，
所以bn=bn+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1
综上所述，数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=2×3n-1、bn=3n-1；
（2）∵b1，b4，b7，…，b3n-2组成以3d为公差的等差数列，
∴Pn=nb1+•3d=n2-n；
同理可得：b10，b12，b14，…，b2n+8组成以2d为公差的等差数列，且b10=29，
∴Qn=nb10+•2d=3n2+26n．
因此，Pn-Qn=（n2-n）-（3n2+26n）=n（n-19）．
所以对于正整数n，当n≥20时，Pn＞Qn；当n=19时，Pn=Qn；当n≤18时，Pn＜Qn．