(1)由函数f(x)=x2+1,通过an+1=f(an),依次求解a2,a3,a4.
(2)假设存在实数m,使得a2,a3,a4构成公差不为0的等差数列;由(1)得到a2=f(0)=m,a3=f(m)=m2+m,
a4=f(a3)=(m2+m)2+m.由a2,a3,a4成等差数列,利用等差中项可有2a3=a2+a4,即2(m2+m)=m+(m2+m)2+m,求解然后验证即可.
(3)由>又,所以令,
再由累加法可有an-a1≥(n-1)d,即an≥(n-1)d,因此只需取正整数,就使得ak大于2010.
【解析】
(1)m=1,f(x)=x2+1
因为a1=0,所以a2=f(0)=1,
a3=f(1)=12+1=2,
a4=f(a3)=(2)2+1=5.(4分)
(2)假设存在实数m,使得a2,a3,a4构成公差不为0的等差数列.
由(1)得到a2=f(0)=m,a3=f(m)=m2+m,a4=f(a3)=(m2+m)2+m.
因为a2,a3,a4成等差数列,
所以2a3=a2+a4,(6分)
所以,2(m2+m)=m+(m2+m)2+m,
化简得m2+(m2+2m-1)=0,
解得m=0(舍),m=-1±.(8分)
经检验,此时a2,a3,a4的公差不为0,
所以存在m=-1±,使a2,a3,a4构成公差不为0的等差数列(9分)
(3)因为,
又m>,所以令d=m->0.
由an-an-1≥d,
an-1-an-2≥d,
…
a2-a1≥d
将上述不等式全部相加得an-a1≥(n-1)d,即an≥(n-1)d,
因此只需取正整数k>+1,就有.(14分)