Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，函数f（x）=一（p+q）x+qlnx（其中p，q均为常数，且p＞q＞0），当x=a₁时，函数f（x）取得极小值，点（a_n，2S_n）（n∈N*）均在函数y=2px²-+f'（x）+q的图象上．（其中f'（x）是函数f（x）的导函数）
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）先对函数f（x）进行求导，令其导数为0求得x，进而根据x变化时f'（x）和f（x）的变化情况确定函数f（x）的极小值，求得a1；
（2）依题意可知点（an，2sn）代入解析式，再由a1的值求出p，求得2Sn=2an2+an-1，进而利用an=sn-sn-1，求得数列的递推式，整理求得an-an-1-=0，推断出数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得an；
（3）根据题意和（2）结论求出Sn，再求出bn，根据特点利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn，需要说明q≠1．
【解析】
（1）由题意得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=px-（p+q）+==
令f′（x）=0，得x=1或x=，
∵p＞q＞0，∴0＜＜1，
当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）处取得极小值，即a1=1．
（2）依题意，=2px2+px-p，
∵点（an，2Sn）（n∈N*）均在函数图象上，
∴2Sn=2p•an2+p•an-p，
则2a1=2pa12+pa1-p，由a1=1求得p=1
∴2Sn=2an2+an-1
当n≥2时，2Sn-1=2an-12+an-1-1
两式相减求得（an+an+1）（an-an-1-）=0，
∵an+an+1＞0，∴an-an-1-=0
∴数列{an}是以1为首项，为公差的等差数列，
∴an=1+（n-1）×=，
 （3）由（2）得，2Sn=2an2+an-1=2×+-1，
解得，∴bn==nqn，
则Tn=1×q1+2×q2+…+n•qn③
又qTn=1×q2+2×q3+…+（n-1）•qn+n•qn+1 ④
∵p＞q＞0，且由（2）知p=1，∴q≠1，
③-④得，（1-q）Tn=q1+q2+q3+…+qn-n•qn+1=
∴Tn=．