Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设Q={x|x=k_n，n∈N*}，R={x|x=2a，n∈N*}，等差数列{c_n}的任一项c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通项公式．

Answer

（1）点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，所以Sn=n2+2n，利用用数列中an与 Sn关系解决．
（2）先求出Q={x|x=2n+2，n∈N*}，R={x|x=4n+2，n∈N*}，利用条件求出c1=6，c10=114求{cn}的通项公式．
【解析】
（1）因为点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，
所以Sn=n2+2n，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1，
当n=1时，an=3满足上式，
所以数列{an}的通项公式an=2n+1；
（2）由f（x）=x2+2x求导得f′（x）=2x+2，
∴kn=2n+2，∴Q={x|x=2n+2，n∈N*}，又R={x|x=4n+2，n∈N*}，
所以Q∩R=R，又cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，所以c1=6，
又{cn}是公差为4的倍数的等差数列，
所以令c10=4m+6，又110＜c10＜115，解得m=27，
所以c10=114，设等差数列{cn}的公差为d，则c10-c10=9d，d=12．
所以{cn}的通项公式cn=6+（n-1）×12=12n-6．