Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx在x=α与x=β处有两个不同的极值点，设x在点（-1，f（-1））处的切线为l₁，其斜率为k₁；在点（1，f（1））处的切线为l₂，其斜率为k₂．
（1）若l₁⊥l₂，|α-β|=，求b，c的值；
（2）若α，β∈（-1，1），求k₁k₂可能取到的最大整数值．

Answer

（1）求出函数的导函数，因为两直线垂直得到斜率乘积为-1，即f′（-1）•f′（1）=-1得到一个式子①，因为α和β为方程的两个根，利用根与系数的关系表示出|α-β|，代入条件，可得②，①②联立，即可得到结论；
（2）设f′（x）=3（x-α）（x-β），则k1k2=f′（-1）f′（1）=9（1+α）（1-α）（1+β）（1-β），利用基本不等式，即可得到结论．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2bx+c，又∵l1⊥l2，
∴f′（-1）•f′（1）=-1
即（3+2b+c）（3-2b+c）=-1①
∵α，β是3x2+2bx+c=0的两根，∴α+β=，αβ=
又∵|α-β|=，∴|α-β|2=（α+β）2-4αβ=②
由①②得或；
（2）设f′（x）=3（x-α）（x-β），则k1k2=f′（-1）f′（1）=9（1+α）（1-α）（1+β）（1-β）≤=9
当且仅当α=β=0时，等号成立
∵α≠β，∴k1k2≤8
取时，=8
即f（x）=时，k1k2=8
∴k1k2可能取到的最大整数值为8．