Question

已知函数f（x）=x³-x．
（1）设M（λ，f（λ））是函数f（x）图象上的-点，求点M处的切线方程；
（2）证明：过点N（2，1）可以作曲线，f（x）=x³-x的三条切线．

Answer

（1）求出f′（x），根据切点为M（λ，f（λ））得到切线的斜率为f'（t），所以根据斜率和M点坐标写出切线方程即可；
（2）如果切点是N（2，1），由（1）知，则存在t使1=2（3t2-1）x-2t3，于是过点N（2，1），可作曲线y=f（x）的三条切线即为方程2t3-6t2+3=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t3-6t2+3=0，求出其导函数=0时t的值，利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g（t）的单调区间，利用g（t）的增减性得到g（t）的极值，根据极值分区间考虑方程g（t）=0有三个相异的实数根，得到g（t）在R上中人有一个极大值3和一个极小值-5，即可得证．
【解析】
（1）求函数f（x）的导函数；f'（x）=3x2-1．
曲线y=f（x）在点M（λ，f（λ））处的切线方程为：y-f（λ）=f'（λ）（x-λ），即y=（3λ2-1）x-2λ3；
（2）如果切点是N（2，1），由（1）知，则存在t，使1=2（3t2-1）x-2t3．
于是方程2t3-6t2+3=0有三个相异的实数根．
记g（t）=2t3-6t2+3，则g'（t）=6t2-12t=6t（t-2）．
当t变化时，g（t），g'（t）变化情况如下表：

由于g（t）在R上中人有一个极大值3和一个极小值-5，故过点N（2，1）可以作曲线，f（x）=x3-x的三条切线．