Question

已知定点A（-1，0），F（2，0），定直线l：x=，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．

Answer

（I）设P（x，y），欲求点P的轨迹方程，只须求出x，y之间的关系式即可，结合题中条件：“动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍”利用距离公式即得；
（II）先分类讨论：①当直线BC与x轴不垂直时；②当直线BC与x轴垂直时，对于第①种情形，设BC的方程为y=k（x-2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合向量垂直的关系利用向量的坐标运算即可求得结论，从而解决问题．对于第②种情形，由于直线方程较简单，直接代入计算即可验证．
【解析】
（I）设P（x，y），则
化简得x2-=1（y≠0）；（4分）
（II）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x-2）（k≠0）
与双曲线x2-=1联立消去y得（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0
由题意知3-k2≠0且△＞0
设B（x1，y1），C（x2，y2），则
y1y2=k2（x1-2）（x2-2）=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=k2（+4）=
因为x1、x2≠-1，所以直线AB的方程为y=（x+1）
因此M点的坐标为（），
同理可得
因此==0
②当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，则B（2，3），C（2，-3）
AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为（），
同理可得
因此=0
综上=0，即FM⊥FN
故以线段MN为直径的圆经过点F．（12分）