如图所示，设抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的焦点为F2，且其准线与x轴交于F...

如图所示，设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的焦点为F₂，且其准线与x轴交于F₁，以F₁，F₂为焦点，离心率e= manfen5.com 满分网

的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C₂的方程；
（2）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的三条边的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

（1）确定c=1，再利用椭圆的离心率，求出几何量，即可得到椭圆C2的方程；（2）假设存在，椭圆方程与抛物线方程联立，求出P的坐标，从而可得结论．【解析】（1）当m=1时，y2=4x，则F1（-1，0），F2（1，0）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），则c=1，又e==，所以a=2，b2=3 所以椭圆C2方程为；（2）假设存在实数m，使得△PF1F2的三条边的边长是连续的自然数，则因为c=m，e==，则a=2m，b2=3m2，设椭圆方程为，与抛物线方程联立得3x2+16mx-12m2=0 即（x+6m）（3x-2m）=0，得xP=，代入抛物线方程得yP= ∴P（） ∴|PF2|=xP+m=，|PF1|=2a-|PF2|=4m-=，|F1F2|=2m=， ∵△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，∴m=3．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等