Question

如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点在直线l：x=1上，离心率e=．设P，Q为椭圆上不同的两点，且弦PQ的中点T在直线l上，点R（，0）．
（1）求椭圆的方程；
（2）试证：对于所有满足条件的P，Q，恒有|RP|=|RQ|；
（3）试判断△PQR能否为等边三角形？证明你的结论．

Answer

（1）利用椭圆的性质、离心率计算公式及a2=b2+c2即可得出；
（2）证明：设T（1，y），P（x1，y1），Q（x2，y2）．则=，，只要证明==0即可，利用“点差法”中点坐标公式即可证明；
（3）分类讨论，利用等边三角形的性质和两点间的距离关系及其根与系数的关系即可得到满足条件的直线斜率k存在即可．
（1）【解析】
由题意可得，解得，∴椭圆的方程为；
（2）证明：设T（1，y），P（x1，y1），Q（x2，y2）．
则=，，
∴=，
由点P，Q在椭圆上，∴，，
两式相减得=0，
∵x1+x2=2，y1+y2=2y，
∴．
∴．
∴PQ⊥RT．
即RT是线段PQ的垂直平分线，故恒有|RT|=|RQ|．
（3）①当PQ的斜率不存在时，△PQR不是等边三角形；
②当PQ的斜率存在时，由（2）可知：k=0时不符合题意．
假设k≠0，△PQR为等边三角形，则，
设PQ的中点T（1，y），此时，．
∴=，
∴，
代入化为==3（1+k2），
解得．
由△＞0，得64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）＞0，
把代入上式得，∴符合题意．
∴△PQR能为等边三角形．