Question

已知抛物线y²=4x，过点M（0，2）的直线l与抛物线交于A，B两点，且直线l与x轴交于点C．
（1）若以A，B为直径的圆经过坐标原点，求此时的直线l的方程；
（2）求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；
（3）设=，=，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer

（1）设l的方程为y=kx+2（k≠0）与抛物线y2=4x联立，利用以A，B为直径的圆经过坐标原点，可得x1x2+y1y2=0，从而可求直线l的方程；
（2）证明|MC|2=|MA||MB|≠0，即可得到|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；
（3）由=，=，得，，结合韦达定理，可得结论．
（1）【解析】
设l的方程为y=kx+2（k≠0）与抛物线y2=4x联立，可得k2x2+（4k-4）x+4=0
由△＞0，k≠0，可得且k≠0
设点A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②
∵以A，B为直径的圆经过坐标原点，
∴x1x2+y1y2=0
∴（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0
∴
∴
∴此时的直线l的方程为x+2y-4=0；
（2）证明：∵|MA||MB|=•=
=
∴|MC|2=|MA||MB|≠0
∴|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；
（3）【解析】
由=，=，得，
∴α+β=
把①②代入，可得α+β=-1，即α+β为定值-1．