Question

已知函数，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）求导数，利用f′（2-x）=f′（x），可求b的值；利用曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，可求a，c，d的值，从而可得函数解析式；
（2）确定函数解析式，分类讨论，可求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）求出函数h（x），再将不等式转化为具体不等式，利用最值法，即可求得实数t的取值范围．
【解析】
（1）求导数可得f′（x）=x2+2bx+c
∵f′（2-x）=f′（x），∴f′（x）关于x=1对称，∴b=-1
与x轴交点处的切线为y=4x-12，设交点为（a，0），则f（a）=0，f′（a）=4
∴在（a，0）处的切线为：y=4（x-a）+0=4x-4a=4x-12，∴4a=12，∴a=3
由f'（3）=9-6+c=3+c=4得：c=1
由f（3）=×27-32+3+d=0得：d=-3
所以有：2+x-3
（2）=x|x-1|
当x≥1时，g（x）=x（x-1）=x2-x=（x-）2-，函数为增函数
x＜1时，g（x）=-x2+x=-（x-）2+，最大为g（）=
比较g（m）=m（m-1）与得：m≥时，m（m-1）≥
因此，0＜m时，g（x）的最大值为m-m2；时，g（x）的最大值为；
m＞时，g（x）最大值为m2-m
（3）h（x）=lnf′（x）=ln（x-1）2，x∈[0，1]时，h（x）=2ln（1-x）
∵对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立
∴2ln（t-x）＜2ln（-2x-1）
∴0＜t-x＜-2x-1
∴x＜t＜-x-1
∵x∈[0，1]，
∴-1＜t＜0