Question

设函数f（x）=lnx+x²-2ax+a²，a∈R．
（I）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（II）若函数f（x）在[，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
（III）求函数f（x）的极值点．

Answer

（I）把a=0代入f（x），对其进行求导，利用导数研究其最值问题；
（II）对f（x）进行求导，将其转化为在区间[，2]上存在于区间使得不等式g（x）＞0恒成立，根据抛物线的性质可以看出，图象开口向上，利用根与系数的关系进行求解；
（III）对f（x）进行求解，可以设出h（x）=2x2-2ax+1，对a进行讨论：a≤0或a＞0两种情况，利用导数研究函数的极值问题；
【解析】
（I）当a=0时，函数f（x）=lnx+x2的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x＞0，
∴f（x）在[1，e]上是增函数，
当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1，∴f（x）在[1，e]上的最小值为1；
（II）f′（x）=+2x-2a=，设g（x）=2x2-2ax+1
由题意知，在区间[，2]上存在于区间使得不等式g（x）＞0恒成立，
由于抛物线g（x）=2x2-2ax+1开口向上，
∴只要g（2）＞0，或g（）＞0即可，
由g（2）＞0，即8-4a+1＞0，∴a＜，由g（）＞0，即-a+1＞0，∴a＜，
∴a＜，即实数a的取值范围（-∞，）
（III）∵f′（x）=，设h（x）=2x2-2ax+1，
①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，
这时f′（x）＞0此时f（x）没有极值点；
②当a＞0时，
当x＜或x＞时，h（x）＞0，这时f′（x）＞0，
∴当a＞时，x=是函数f（x）的极大值点；
x=是函数f（x）的极小值点，
综上，当a≤时，函数f（x）没有极值点；
当a时，x=是函数f（x）的极大值点；
x=是函数f（x）的极小值点；