Question

已知函数f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x（x∈R），其中a∈R．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）当a=1时，求函数f（x））在[-3，0]上的最大值和最小值．（参考数据：e≈2.71828，e²≈7.38905）

Answer

（1）把a=0代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，对a进行讨论，分别判断函数的单调性，最后根据a的不同取值得出的结论综上所述即可；
（3）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值．
【解析】
（1）当a=0时，f（x）=x2ex，f'（x）=（x2+2x）ex，故f'（1）=3e，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e，f（1）=e，
所以该切线方程为y-e=3e（x-1），
整理得：3ex-y-2e=0．
（2）f′（x）=[x2+（a+2）x-2a2+4a]ex
令f′（x）=0  解得x=-2a  或x=a-2以下分三种情况讨论．
①若a＞，则-2a＜a-2．当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：
-
所以f（x）在（-∞，-2a），（a-2，+∞）内是增函数在（-a，a-2）内是减函数
②若a＜，则-2a＞a-2
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：

所以f（x）在（-∞，a-2），（-2a，+∞）内是增函数，在（a-2，-2a）内是减函数，
③若a=，则-2a=a-2函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增，
（3）由（2），当a=1时，得f（x）在（-∞，-2）递增，在（-1，+∞）递增，
在在（-2，-1）递减，
∴f（-2）=3e-2是f（x）在x∈[-3，0]的极大值；
f（-1）=e-1是f（x）在x∈[-3，0]的极小值（8分）
又f（0）=1，f（-3）=7e-3
∴最大值为f（0）=1，最小值为f（-3）=7e-3