Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F，G，H分别为BE，AE，BC的中点
（Ⅰ）求证：DE∥平面FGH；
（Ⅱ）若点P在直线GF上，=λ，且二面角D-BP-A的大小为，求λ的值．

Answer

（Ⅰ）欲证明DE∥平面FGH，先找直线与直线平行，即在平面FGH内找一条直线与直线DE平行．因此，取AD得中点M，连接GM，可证出MG∥DE，结合线面平行的判定定理可得DE∥平面FGH；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，根据题中数据得出相应点的坐标进而得到、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，求出=（5-2λ，，2）是平面BDP的一个法向量，结合=（0，0，1）是平面ABP的一个法向量和二面角D-BP-A的大小为，利用空间向量的夹角公式建立关于λ的方程，解之可得实数λ的值．
【解析】
（Ⅰ）证明：取AD的中点M，连接MH，MG．
∵G、H、F分别是AE、BC、BE的中点，
∴MH∥AB，GF∥AB，
∴MH∥GF，即G、F、H、M四点共面，平面FGH即平面MGFH，
又∵△ADE中，MG是中位线，∴MG∥DE
∵DE⊄平面MGFH，MG⊂平面MGFH，
∴DE∥平面MGFH，即直线DE与平面FGH平行．
（Ⅱ）在平面ABE内，过A作AB的垂线，记为AP，则AP⊥平面ABCD．
以A为原点，AP、AB、AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．
可得A（0，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），E（2，-2，0），G（，-1，0），F（，1，0）
∴=（0，2，0），=（0，-4，2），=（，-5，0）． 
由=λ=（0，2λ，0），可得=+=（，2λ-5，0）．
设平面PBD的法向量为=（x，y，z），
则，取y=，得z=2，x=5-2λ，
∴=（5-2λ，，2），
又∵平面ABP的一个法向量为=（0，0，1），
∴cos＜＞===cos=，解之得λ=1或4
即λ的值等于1或4．