Question

在如图所示的几何体中，四边形ACC₁A₁是矩形，FC₁∥BC，EF∥A₁C₁，∠BCC₁=90°，点A、B、E、A₁在一个平面内，AB=BC=CC₁=2，．
（1）证明：A₁E∥AB；
（2）若A₁E=C₁F=1，求平面BEF与平面ABC所成夹角的正切值．

Answer

（1）由已知，可得A1C1∥平面ABC，FC1∥平面ABC，可由面面平行的判定定理可得平面A1EFC1∥平面ABC，进而由面面平行的性质定理可得A1E∥AB；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF与平面ABC的法向量，利用向量法求出两面角的余弦值，进而根据同角三角函数关系求出答案．
证明：（1）∵四边形ACC1A1是矩形，
∴AC∥A1C1，AC⊂平面ABC
∴A1C1∥平面ABC
∵FC1∥BC，BC⊂平面ABC
∴FC1∥平面ABC
∵A1C1，FC1⊂平面A1EFC1，且A1C1∩FC1=C1，
∴平面A1EFC1∥平面ABC
又∵平面ABEA1现平面A1EFC1，平面ABC交线分别为平面A1E、AB
∴A1E∥AB；…6分
【解析】
（2）∵四边形ACC1A1是矩形，
∴AA1∥CC1，
又∵∠BCC1=90°，即CC1⊥BC1，
∴AA1⊥BC
∵AB=BC=2，AC=2
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，即BC⊥AB
又∵AB、AA1⊂平面ABEA1，
∴BC⊥平面ABEA1，而BC⊂平面CC1FB
∴平面CC1FB⊥平面ABEA1，
∵AA1⊥AC，AA1⊥BC
∴AA1⊥平面ABC，CC1⊥平面ABC…8分
如图建立空间直角坐标系，
则=（0，0，2）为平面ABC的一个法向量，…9分
设平面BEF的法向量=（x，y，z）
∵A1E=C1F=1，
∴E（1，0，2），F（0，1，2）
∴=（1，0，2），=（0，1，2）
则，即
令x=2，则=（2，2，-1）即为平面BEF的法向量…10分
设平面BEF与平面ABC所成夹角为θ
则cosθ==…11分
则sinθ=，tanθ=2…12分