Question

已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为    ．

Answer

根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和B'（-3，0）．因此连接PB'、AB'，根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+（2a-|PB'|）=10+（|PA|-|PB'|）．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB'延长线上时，|PA|+|PB|=
10+|AB'|=15达到最大值，从而得到本题答案．
【解析】
∵椭圆方程为，
∴焦点坐标为B（3，0）和B'（-3，0）
连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10-|PB'|
因此，|PA|+|PB|=|PA|+（10-|PB'|）=10+（|PA|-|PB'|）
∵|PA|-|PB'|≤|AB'|
∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+=10+5=15
当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立
综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为15
故答案为：15