Question

如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2．
（1）求异面直线A₁C与B₁C₁所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求三棱锥C-ABC₁的体积．

Answer

（1）连接A1B，由三棱柱的性质得C1B1∥CB，从而得到∠A1CB（或其补角）是异面直线A1C与B1C1所成角．然后在△A1CB中计算出各边的长，再根据余弦定理算出cos∠A1CB=，即可得到异面直线A1C与B1C1所成角的大小；
（2）由棱柱体积公式，算出正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为2，而三棱锥C1-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1同底等高，得到，由此不难得到三棱锥C-ABC1的体积的值．
【解析】
（1）连接A1B，
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，C1B1∥CB，
∴∠A1CB（或其补角）是异面直线A1C与B1C1所成角．
∵四边形AA1C1C与AA1B1B都是边长为2的正方形
∴，
△A1CB中根据余弦定理，得cos∠A1CB==
因此，∠A1CB=，
即异面直线A1C与B1C1所成角的大小为．
（2）由题意得
∵△ABC的面积S△ABC=，高CC1=2
∴正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V=S△ABC×CC1=2
而三棱锥C1-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1同底等高
∴三棱锥C1-ABC的体积为，
∵，
∴三棱锥C-ABC1的体积为．