Question

已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求的值；
（3）对于双曲线Γ：，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（M，N都不同于点E），且EM⊥EN，求证：直线MN与x轴的交点是一个定点．

Answer

（1）设出双曲线方程，利用D（1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量，可得几何量，即可求双曲线C的方程；
（2）分类讨论，直线方程与双曲线方程联立，利用向量知识，即可得出结论；
（3）设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，由EM⊥EN，可得结论．
（1）【解析】
设双曲线C的方程为，则a=1，
又，得，所以，双曲线C的方程为．
（2）【解析】
当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=-3，A，B的坐标为（-3，4）、（-3，-4），，所以=0．
当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y=k（x+3），
由得（2-k2）x2-6k2x-9k2-2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
故==++9k2+1=0．
综上，=0．
（3）证明：设直线MN的方程为：x=my+t，
由，得（b2m2-a2）y2+2b2mty+b2（t2-a2）=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，分
由EM⊥EN，得（x1-a）（x2-a）+y1y2=0，（my1+t-a）（my2+t-a）+y1y2=0
即，，
化简得，或t=a（舍），
所以，直线MN过定点（，0）．