Question

已知数列的前n项和为S_n，数列是首项为0，公差为的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，对任意的正整数k，将集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d_k，求d_k；
（3）对（2）题中的d_k，设A（1，5d₁），B（2，5d₂），动点M，N满足，点N的轨迹是函数y=g（x）的图象，其中g（x）是以3为周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，g（x）=lgx，动点M的轨迹是函数f（x）的图象，求f（x）．

Answer

（1）由条件得，再根据前n项和与通项之间的关系即可求出数列{an}的通项公式；
（2）由（1）可知，从而，．最后由2b2k-1=b2k+b2k+1及b2k＜b2k-1＜b2k+1得b2k，b_2k-1g（x），b2k+1依次成递增的等差数列，即可求出公差为dk；
（3）由（2）得A（1，4），B（2，16），即==（1，12）设当3m＜x≤3（m+1）（m∈Z），有0＜x-3m≤3，由是以3为周期的周期函数得，g（x）=g（x-3m）=lg（x-3m），再设M（x，y）是函数图象上的任意点，并设点N的坐标为（xN，yN），利用向量相等得到，从而建立坐标之间的关系，即可求出求f（x）．
【解析】
（1）由条件得，即
所以．
（2）由（1）可知，
所以，．
由2b2k-1=b2k+b2k+1及b2k＜b2k-1＜b2k+1得b2k，b_2k-1g（x），b2k+1依次成递增的等差数列，
所以．
（3）由（2）得A（1，4），B（2，16），即==（1，12）
当3m＜x≤3（m+1）（m∈Z）时，g（x）=lg（x-3m），（0＜x-3m≤3），
由y=g（x）是以3为周期的周期函数得，g（x）=g（x-3m）=lg（x-3m），
设M（x，y）是函数图象上的任意点，并设点N的坐标为（xN，yN），
则．
而yN=lg（xN-3m），（3m＜xN≤3m+3（m∈Z）），
于是，y+12=lg（x+1-3m），（3m＜x+1≤3m+3（m∈Z）），
所以，f（x）=lg（x+1-3m）-12，（3m-1＜x≤3m+2（m∈Z））．