Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点O、E分别是A₁C₁、AA₁的中点，AO⊥平面A₁B₁C₁．已知∠BCA=90°，AA₁=AC=BC=2．
（Ⅰ）证明：OE∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求异面直线AB₁与A₁C所成的角；
（Ⅲ）求A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值．

Answer

解法一：（Ⅰ）证明OE∥AC1，然后证明OE∥平面AB1C1．
（Ⅱ）先证明A1C⊥B1C1．再证明A1C⊥平面AB1C1，推出异面直线AB1与A1C所成的角为90°．
（Ⅲ） 设点C1到平面AA1B1的距离为d，通过，求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．
解法二：如图建系O-xyz，求出A，A1，E，C1，B1，C的坐标
（Ⅰ）通过计算，证明OE∥AC1，然后证明OE∥平面AB1C1．
（Ⅱ）通过，证明AB1⊥A1C，推出异面直线AB1与A1C所成的角为90°．
（Ⅲ）设A1C1与平面AA1B1所成角为θ，设平面AA1B1的一个法向量是利用推出，通过，求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．
解法一：（Ⅰ）证明：∵点O、E分别是A1C1、AA1的中点，
∴OE∥AC1，又∵EO⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，
∴OE∥平面AB1C1．（4分）
（Ⅱ）∵AO⊥平面A1B1C1，∴AO⊥B1C1，又∵A1C1⊥B1C1，且A1C1∩AO=O，
∴B1C1⊥平面A1C1CA，∴A1C⊥B1C1．（6分）
又∵AA1=AC，∴四边形A1C1CA为菱形，
∴A1C⊥AC1，且B1C1∩AC1=C1∴A1C⊥平面AB1C1，
∴AB1⊥A1C，即异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（8分）
（Ⅲ） 设点C1到平面AA1B1的距离为d，∵，
即•d．（10分）
又∵在△AA1B1中，，∴S△AA1B1=．
∴，∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．（12分）
解法二：如图建系O-xyz，，，C1（0，1，0），B1（2，1，0），．（2分）
（Ⅰ）∵=，，∴，即OE∥AC1，
又∵EO⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴OE∥平面AB1C1．（6分）
（Ⅱ）∵，，∴，即∴AB1⊥A1C，
∴异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（8分）
（Ⅲ）设A1C1与平面AA1B1所成角为θ，∵，
设平面AA1B1的一个法向量是
则即
不妨令x=1，可得，（10分）
∴，
∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．（12分）