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如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点O、E分别是A1C1、AA1的中点,A...

如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点O、E分别是A1C1、AA1的中点,AO⊥平面A1B1C1.已知∠BCA=90°,AA1=AC=BC=2.
(Ⅰ)证明:OE∥平面AB1C1
(Ⅱ)求异面直线AB1与A1C所成的角;
(Ⅲ)求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值.

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解法一:(Ⅰ)证明OE∥AC1,然后证明OE∥平面AB1C1. (Ⅱ)先证明A1C⊥B1C1.再证明A1C⊥平面AB1C1,推出异面直线AB1与A1C所成的角为90°. (Ⅲ) 设点C1到平面AA1B1的距离为d,通过,求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值. 解法二:如图建系O-xyz,求出A,A1,E,C1,B1,C的坐标 (Ⅰ)通过计算,证明OE∥AC1,然后证明OE∥平面AB1C1. (Ⅱ)通过,证明AB1⊥A1C,推出异面直线AB1与A1C所成的角为90°. (Ⅲ)设A1C1与平面AA1B1所成角为θ,设平面AA1B1的一个法向量是利用推出,通过,求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值. 解法一:(Ⅰ)证明:∵点O、E分别是A1C1、AA1的中点, ∴OE∥AC1,又∵EO⊄平面AB1C1,AC1⊂平面AB1C1, ∴OE∥平面AB1C1.(4分) (Ⅱ)∵AO⊥平面A1B1C1,∴AO⊥B1C1,又∵A1C1⊥B1C1,且A1C1∩AO=O, ∴B1C1⊥平面A1C1CA,∴A1C⊥B1C1.(6分) 又∵AA1=AC,∴四边形A1C1CA为菱形, ∴A1C⊥AC1,且B1C1∩AC1=C1∴A1C⊥平面AB1C1, ∴AB1⊥A1C,即异面直线AB1与A1C所成的角为90°.(8分) (Ⅲ) 设点C1到平面AA1B1的距离为d,∵, 即•d.(10分) 又∵在△AA1B1中,,∴S△AA1B1=. ∴,∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值.(12分) 解法二:如图建系O-xyz,,,C1(0,1,0),B1(2,1,0),.(2分) (Ⅰ)∵=,,∴,即OE∥AC1, 又∵EO⊄平面AB1C1,AC1⊂平面AB1C1,∴OE∥平面AB1C1.(6分) (Ⅱ)∵,,∴,即∴AB1⊥A1C, ∴异面直线AB1与A1C所成的角为90°.(8分) (Ⅲ)设A1C1与平面AA1B1所成角为θ,∵, 设平面AA1B1的一个法向量是 则即 不妨令x=1,可得,(10分) ∴, ∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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