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已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R). (Ⅰ)讨论函数f(x)在定义域内...

已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R).
(Ⅰ)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;
(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围;
(Ⅲ)当0<x<y<e2且x≠e时,试比较manfen5.com 满分网的大小.
(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=a-.通过考察f′(x)的正负值区间判断单调区间,得出极值点情况. (Ⅱ)a=1,f(x)≥bx-2恒成立,即(1-b)x>lnx-1,将b分离得出,b<,令g(x)=,只需b小于等于g(x)的最小值即可.利用导数求最小值. (Ⅲ)由(Ⅱ)g(x)=在(0,e2)上为减函数,g(x)>g(y),>,整理得>,考虑将1-lnx除到右边,为此分1-lnx正负分类求解. 【解析】 函数f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=a-. (Ⅰ)当a≤0时,f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,函数 在(0,+∞)单调递减, ∴在(0,+∞)上没有极值点; 当a>0时,由f′(x)>0得x>,f′(x)<0得x<.f′(x)=0得x=. ∴在(0,)上递减,在(,+∞)上递增,即在x=处有极小值. ∴当a≤0时在(0,+∞)上没有极值点, 当a>0时,在(0,+∞)上有一个极值点.(3分) (Ⅱ)∵函数在x=处取得极值,∴a=1, f(x)=x-1-lnx, ∵f(x)≥bx-2,移项得(1-b)x>lnx-1,再将b分离得出,b<,令g(x)=, 则令g′(x)=,可知在(0,e2)上g′(x)<0,在(e2,+∞)上g′(x)>0, ∴g(x)在x=e2处取得极小值,也就是最小值.此时g(e2)=1-, 所以b≤1-. (Ⅲ)由(Ⅱ)g(x)=在(0,e2)上为减函数.0<x<y<e2且x≠e时, 有g(x)>g(y),>,整理得>① 当0<x<e时,1-lnx>0,由①得, 当e<x<e2时,1-lnx<0,由①得
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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