Question

已知正方形AP₁P₂P₃的边长为4，点B，C分别是边P₁P₂，P₂P₃的中点，沿AB，BC，CA折叠成一个三棱锥P-ABC（使P₁，P₂，P₃重合于P），则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（ ）
A．24π
B．12π
C．8π
D．4π

Answer

因为折叠后的三棱锥的侧面PAB、侧面PBC、侧面PCA都是直角三角形，可得PA、PB、PC两两互相垂直，由球的几何性质得外接球的直径2R==2，从而半径R=，结合球的表面积公式，可得P-ABC的外接球表面积．
【解析】
根据题意，得折叠后的三棱锥P-ABC中，侧面PAB、侧面PBC、侧面PCA都是直角三角形，
∴PA、PB、PC两两互相垂直，

∵PA=4，PB=PC=2
∴三棱锥P-ABC的外接球的直径为：2R===2
∴外接球的半径为R=，可得三棱锥P-ABC的外接球表面积为S=4πR2=24π
故选：A