Question

已知f（x）是偶函数，x∈R，若将f（x）的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数，又f（2）=-1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=（ ）
A．-1003
B．1003
C．1
D．-1

Answer

利用函数的奇偶性，及平移变换，从而得到函数f（x）是以4为周期的函数，再求出f（1）、f（3）、f（4），即可得出答案．
【解析】
∵函知f（x）是R上偶函数，∴f（-x）=f（x）．
又将f（x）的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数，∴f（-x-1）=-f（x-1）．
∴f（x+1）=f（-x-1）=-f（x-1），
∴f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）是以4为周期的函数．
对于式子f（-x-1）=-f（x-1），令x=0，则f（-1）=-f（-1），
∴f（-1）=0=f（1），
∴f（3）=f（-1）=0，
又f（2）=-1，
∴f（4）=-f（3-1）=-f（2）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0-1+0+1=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=f（2009）+f（2010）+f（2011）
=f（1）+f（2）+f（3）=0-1+0=-1．
故选D．