Question

椭圆上的任意一点M（除短轴端点除外）与短轴两个端点B₁，B₂的连线交x轴于点N和K，则|ON|+|OK|的最小值是    ．

Answer

求出椭圆上下顶点坐标，设M（xo，yo），N（xm，0），K（xn，0），利用三点共线求出K，N的横坐标，利用M在椭圆上，推出|ON|•|OK|=a2，最后利用基本不等式求出|ON|+|OK|的最小值即可．
【解析】
由椭圆方程知B1（0，b），B2（0，-b），
另设M（xo，yo），K（xk，0），N（xn，0）（2分）
由M，N，B1三点共线，知 =（4分）
所以xn=（6分）
同理得xk=（9分）
|OK|•|ON|=||…①，
又M在椭圆上所以 即b2-y=代入①得              10分
|OK|•|ON|=||=a2（12分）
利用基本不等式，得|ON|+|OK|≥2=2a，当且仅当|OK|•|ON|取号，
故|OK|•|ON|的最小值为2a．
故答案为：2a．