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动圆C过定点F,且与直线相切,其中p>0.设圆心C的轨迹Γ的程为F(x,y)=0...

动圆C过定点Fmanfen5.com 满分网,且与直线manfen5.com 满分网相切,其中p>0.设圆心C的轨迹Γ的程为F(x,y)=0
(1)求F(x,y)=0;
(2)曲线Γ上的一定点P(x,y)(y≠0),方向向量manfen5.com 满分网的直线l(不过P点)与曲线Γ交与A、B两点,设直线PA、PB斜率分别为kPA,kPB,计算kPA+kPB
(3)曲线Γ上的两个定点P(x,y)、manfen5.com 满分网,分别过点P,Q作倾斜角互补的两条直线PM,QN分别与曲线Γ交于M,N两点,求证直线MN的斜率为定值.
(1)利用抛物线的定义即可得出轨迹方程; (2)由直线l的方向向量可设直线l的方程为,与抛物线的方程联立消去x得到关于y的一元二次方程,得到根与系数的关系,利用斜率计算公式和点P在抛物线上满足的条件,即可得出kPA+kPB; (3)设M(x1,y1),N(x2,y2),可得到kMN.设MP的直线方程为y-y=k(x-x)与抛物线联立,得到根与系数的关系,同理由直线QN的方程与抛物线的方程联立也得到根与系数的关系,代入kMN即可证明. 【解析】 (1)过点C作直线的垂线,垂足为N, 由题意知:|CF|=|CN|,即动点C到定点F与定直线的距离相等, 由抛物线的定义知,点C的轨迹为抛物线, 其中为焦点,为准线, 所以轨迹方程为y2=2px(p>0);        (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2) 不过点P的直线l方程为, 由得y2+2yy-2yb=0, 则y1+y2=-2y, = = ==0. (3)设M(x1,y1),N(x2,y2), 则==(***)                     设MP的直线方程为为y-y=k(x-x)与曲线y2=2px的交点P(x,y),M(x1,y1). 由,的两根为y,y1 则,∴ 同理,得 ∴, 代入(***)计算得.是定值,命题得证
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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