Question

如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2，PA=．
（1）求证：PA⊥B₁D₁；
（2）求平面PAD与平面BDD₁B₁所成锐二面角的余弦值．

Answer

如图，以D1为原点，D1A1所在直线为x轴，D1C1所在直线为y轴，D1D所在直线为z轴建立空间直角坐标系，给出图中各点的坐标，
（1）先计算出，的坐标，验证其内积为0即可得出PA⊥B1D1；
（2）平面BDD1B1的法向量为=（-2，2，0）．故再求出平面PAD的法向量，设所求锐二面角为θ，由公式cosθ=
【解析】
以D1为原点，D1A1所在直线为x轴，D1C1所在直线为y轴，D1D所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则D1（0，0，0），A1（2，0，0），B1（2，2，0），C1（0，2，0），
D（0，0，2），A（2，0，2），B（2，2，2），C（0，2，2），
P（1，1，4）．
（1）证明：∵=（-1，1，2），=（2，2，0），
∴•=-2+2+0=0，
∴PA⊥B1D1．
（2）平面BDD1B1的法向量为=（-2，2，0）．=（2，0，0），=（1，1，2）．
设平面PAD的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥．
∴∴．取=（0，-2，1），
设所求锐二面角为θ，则
cosθ===．