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椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率,椭圆上的点到焦点的最短距离为1-...

椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率manfen5.com 满分网,椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且manfen5.com 满分网
(1)求椭圆C的方程;
(2)若manfen5.com 满分网,求m的取值范围.
(1)设椭圆C的方程为:(a>b>0),由c>0,c2=a2-b2,且a-c=1-,e==,可得a=1,b=c=;则椭圆C的方程可求. (2)由=λ,得-=λ(-),即(1+λ)=+λ,∴1+λ=4,得λ的值;设l与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),由,得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0,∴△>0,且x1+x2=,x1x2=;由=3,得-x1=3x2,∴,即3(x1+x2)2+4x1x2=0, ∴3+4=0,即4k2m2+2m2-k2-2=0,所以m2=时,上式不成立;m2≠时,k2=,由λ的值,知斜率k≠0,得k2>0,从而得m的取值范围. 【解析】 如图所示, (1)设椭圆C的方程为:(a>b>0),且c>0,c2=a2-b2; 由题意a-c=1-,=,∴a=1,b=c=;∴C的方程为y2+2x2=1; (2)由=λ,得-=λ(-),∴(1+λ)=+λ,∴1+λ=4,即λ=3; 设l与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),由,得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0, ∴△=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0,∴x1+x2=,x1x2=; 由=3,得-x1=3x2,∴,整理得3(x1+x2)2+4x1x2=0, 即3+4=0,整理得4k2m2+2m2-k2-2=0①, 当m2=时,①式不成立;m2≠时,有k2=,由λ=3,知k≠0, ∴k2=>0,∴-1<m<-或<m<1,符合△>0, ∴m∈(-1,-)∪(,1).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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