Question

已知函数f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x∈（a，b），使得”成立．
（1）利用这个性质证明x唯一；
（2）设A、B、C是函数f（x）图象上三个不同的点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer

（1）利用反证法，假设存在，∈（a，b），考察得出函数f′（x）是[a，b]上的单调递增函数，得出矛盾
（2）利用f（x）是R上的单调减函数，得出，cosB＜0，∠B为钝角，△ABC为钝角三角形．
【解析】
（1）证明：假设存在，∈（a，b），且在≠，使得
∴，∵
∴f′（x）=-1=-，记g（x）=f′（x）=-，则g′（x）=＞0，f′（x）是[a，b]上的单调递增函数，
∴所以=，与≠矛盾，所以x是唯一的．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）C（x3，y3）且x1＜x2＜x 3
∵，∴f（x）是R上的单调减函数．∴f（x1）＞f（x2）＞f（x3）．
∵，
∴，
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，∴
∴cosB＜0，∠B为钝角，∴△ABC为钝角三角形．