Question

已知数列{a_n}的首项为1，对任意的n∈N^*，定义b_n=a_n+1-a_n．
（Ⅰ） 若b_n=n+1，求a₄；
（Ⅱ） 若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=a，b₂=b（ab≠0）．
（ⅰ）当a=1，b=2时，求数列{b_n}的前3n项和；
（ⅱ）当a=1时，求证：数列{a_n}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次．

Answer

（Ⅰ）根据数列{an}的首项为1，把n=1代入bn=an+1-an及bn=n+1中，得到数列{an}第2项的值，由求出的第2项的值和n=2代入求出的b2，即可求出数列{an}第3项的值，由求出的第3项的值和n=3代入求出的b3，即可求出数列{an}第4项a4的值；
（Ⅱ）（ⅰ）根据已知的条件bn+1bn-1=bn，当n大于等于2时，把n换为n+6，代入已知的等式后，化简得到bn+6=bn，得到数列{bn}各项的值重复出现，周期为6，又b1=a=1，b2=b=2，根据bn+1bn-1=bn，依次得到b3，b4，b5，b6的值，且求出六个数的和，设数列{bn}的前n项和为Sn，然后分n为偶数即n=2k和n为奇数即n=2k+1两种情况考虑，当n=2k时，S3n等于S6k，根据数列{bn}各项的值重复出现，周期为6，得到S3n等于S6k等于前6项之和的k倍，即可求出S3n的值，当n=2k+1时，S3n等于S6k+3等于前6项之和的k倍加上第6k+1，6k+2，6k+3三项，又根据数列{bn}各项的值重复出现，周期为6，得到S3n等于S6k+3等于7k加上第1、2及3项的和，进而得到S3n的值；
（ⅱ）由（i）得到数列{bn}各项的值重复出现，周期为6，b1=a=1，再根据bn+1bn-1=bn，第2项等于b，即可表示出第3项到第6项的值，且表示出六项的和，设cn=a6n+i，所以cn+1-cn，根据数列的周期性得到之差等于前6项的和，数列{a6n+i}均为等差数列，公差为前6项的和，当b大于0时，得到公差大于0，当b小于0时得到公差小于0，所以{a6n+i}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次．即数列{an}中任意一项的值最多在此数列中出现6次不会出现无数次，得证．
【解析】
（Ⅰ）由a1=1及bn=n+1，令n=1，得到a2=a1+b1=1+2=3，
令n=2，得到a3=a2+b2=3+3=6，
令n=4，得到a4=a3+b3=6+4=10；

（Ⅱ）（ⅰ）因为bn+1bn-1=bn（n≥2），
所以，对任意的n∈N*有，
即数列{bn}各项的值重复出现，周期为6．（5分）
又数列{bn}的前6项分别为，且这六个数的和为7．
设数列{bn}的前n项和为Sn，
则当n=2k（k∈N*）时，S3n=S6k=k（b1+b2+b3+b4+b5+b6）=7k，
当n=2k+1（k∈N*）时，S3n=S6k+3=k（b1+b2+b3+b4+b5+b6）+b6k+1+b6k+2+b6k+3=7k+b1+b2+b3=7k+5，（7分）
所以，当n为偶数时，；当n为奇数时，．（8分）

（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的n∈N*有bn+6=bn，
又数列{bn}的前6项分别为，且这六个数的和为．
设cn=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），
所以cn+1-cn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5+b6n+i+6=．
所以，数列{a6n+i}均为以为公差的等差数列．（10分）
因为b＞0时，，b＜0时，，（12分）
所以{a6n+i}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次．
所以数列{an}中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次．（14分）