Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）由，an＞0，知a1=1.，即，由此能求出a2=2．
（Ⅱ）由得，a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2，故a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2，由此得an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2-（a1+a2+…+an）2，由此能够导出an+12-an2=an+1+an，所以an+1-an=1（n≥2），所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，由此能求出其通项公式．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，有，由于an＞0，所以a1=1
当n=2时，有，即，将a1=1代入上式，由于an＞0，所以a2=2
（Ⅱ）由得，a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2①
则有a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2②
②-①，得an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2-（a1+a2+…+an）2
由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2+…+an）+an+1③
同样有an2=2（a1+a2+…+an-1）+an④
③-④，得an+12-an2=an+1+an，所以an+1-an=1（n≥2），
由于a2-a1=1，即当n≥1时都有an+1-an=1，
所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列
故an=n