Question

已知数列{a_n}为公差不为零的等差数列，a₁=1，各项均为正数的等比数列{b_n}的第1项、第3项、第5项分别是a₁、a₃、a₂₁．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，根据题意用等比中项建立关于d的等式，解出d=4，得到an=4n-3．由此再算出{bn}的公比，利用等比数列通项公式即可得到bn=3n-1；
（2）利用错位相减法将Sn与3Sn的两个等式作差，结合等比数列求和公式化简整理，可得Sn=[（4n-5）×3n+5]．
【解析】
（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q
由题意，得，
即（a1+2d）2=a1（a1+20d），解之得d=4（舍去0）
∴an=1+（n-1）×4=4n-3
而{bn}的首项b1=a1=1，公比满足q2===9，得q=3
∴bn=b1×3n-1=3n-1
综上所述，数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=4n-3、bn=3n-1；
（2）由（1）得anbn=（4n-3）×3n-1
∴Sn=1×1+5×31+9×32+…+（4n-7）×3n-2+（4n-3）×3n-1…①
两边都乘以9，得
3Sn=1×31+5×32+9×33+…+（4n-7）×3n-1+（4n-3）×3n…②
①-②，得-2Sn=1+4（31+32+…+3n-1）-（4n-3）×3n
=4×+1-（4n-3）×3n=（5-4n）×3n-5
∴数列{anbn}的前n项和Sn=[（4n-5）×3n+5]