Question

在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=tana_n•tana_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（I）根据在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，我们易得这n+2项的几何平均数为10，故Tn=10n+2，进而根据对数的运算性质我们易计算出数列{an}的通项公式；
（II）根据（I）的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列{bn}的每一项拆成的形式，进而得到结论．
【解析】
（I）∵在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，
又∵这n+2个数的乘积计作Tn，
∴Tn=10n+2
又∵an=lgTn，
∴an=lg10n+2=n+2，n≥1．
（II）∵bn=tanan•tanan+1=tan（n+2）•tan（n+3）=，
∴Sn=b1+b2+…+bn=[]+[]+…+[]
=