Question

已知n∈R，函数，f（x）=（-x²+ax）e^x（x∈R，e为自然对数的底数）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在（-1，1）上单调递增，求a的取值范围；
（3）函数f（x）是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．

Answer

（1）求导函数，令f′（x）＞0，可得f（x）的单调递增区间；
（2）f′（x）=[-x2+（a-2）x+a]ex，若f（x）在（-1，1）内单调递增，即当-1＜x＜1时，f′（x）≥0，即-x2+（a-2）x+a≥0对x∈（-1，1）恒成立，分离参数求最值，即可求a的取值范围．
（3）假设f（x）是为R上的单调函数，则为R上的单调递增函数或单调递减函数，意即f′（x）≥0或f′（x）≤0对任意的x∈R都成立．可转化为二次不等式恒成立问题．
【解析】
【解析】
（Ⅰ）当a=2时，f（x）=（-x2+2x）ex，f′（x）=-（x2-2）ex
令f′（x）＞0，得x2-2＜0，∴
∴f（x）的单调递增区间是（）；
（Ⅱ）f′（x）=[-x2+（a-2）x+a]ex，若f（x）在（-1，1）内单调递增，即当-1＜x＜1时，f′（x）≥0，
即-x2+（a-2）x+a≥0对x∈（-1，1）恒成立，
即a≥对x∈（-1，1）恒成立，
令y=，则y′=＞0
∴y=在（-1，1）上单调递增，∴y＜1+1-
∴a
当a=时，当且仅当x=0时，f′（x）=0
∴a的取值范围是[，+∞）．
（3）假设f（x）是为R上的单调函数，则为R上的单调递增函数或单调递减函数
①若f（x）是R上的单调递减函数，则f′（x）≤0对任意的x∈R都成立，
即[-x2+（a-2）x+a]ex≤0对任意的x∈R都成立，
因为ex＞0，所以-x2+（a-2）x+a≤0恒成立，
故由△=（a-2）2+4a≤0，
整理得a2+4≤0，显然不成立，
即f（x）不可能为R上的单调递减函数．
②若f（x）是R上的单调递增函数，则f′（x）≥0对任意的x∈R都成立，
即[-x2+（a-2）x+a]ex≥0对任意的x∈R都成立，
因为ex＞0，所以-x2+（a-2）x+a≥0恒成立，
而函数h（x）=-x2+（a-2）x+a的图象是开口向下的抛物线，
所以-x2+（a-2）x+a≥0是不能恒成立的，
所以f（x）不可能为R上的单调递增函数．
综上所述，f（x）是不可能为R上的单调函数．