Question

已知函数f（x）=（m∈z）为偶函数，且以f（2011）＜f（2012）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0，a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）因为幂函数是一个偶函数，且f（2011）＜f（2012）得-2m2+m+3是偶数且-2m2+m+3＜0，求出m的解集，找出整数解即可．
（2）分类讨论，考查内外函数的单调性，利用f（x）=loga（x2-ax）（a＞0，且a≠1）在区间[2，3]上是增函数，即可求实数a的取值范围．
【解析】
（1）由题意得：-2m2+m+3是偶数且-2m2+m+3＜0，
∴-1＜m＜，且m∈Z，∴m=0或1，
当m=0时，-2m2+m+3=3为奇数，不合，当m=1时，-2m2+m+3=2为偶数，
∴m的值为1，f（x）=x2；
（2）g（x）=loga[f（x）-ax]=loga（x2-ax），设t=x2-ax，
当a＞1时，由于g（x）=logat是增函数，故只须函数t=x2-ax在[2，3]是增函数，且函数t大于0，
则，解得1＜a＜2．
当 1＞a＞0时，由题意可得 函数t=x2-ax在[2，3]应是减函数，且函数t大于0，
故，此时无解
综上，实数a的取值范围是（1，2）．