Question

设函数f（x）=px-2lnx．
（1）若p＞0，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数g（x）=f（x）-在其定义域内为单调函数，求p的取值范围．

Answer

（1）对函数f（x）=px-2lnx求导，通过列表即可求得函数f（x）的最小值；
（2）由g（x）=f（x）-=px--2lnx，可求得g′（x）=，依题意，对参数p分p=0，p＞0与p＜0讨论，利用函数恒成立问题即可求得各自情况下p的范围，从而可得P的取值范围．
【解析】
（1）∵f′（x）=p-=，令f′（x）=0，得x=．
∵p＞0，列表如下，

从上表可以得，当x=时，f（x）有极小值2-2ln．（4分）
又此极小值也为最小值，所以当x=时，f（x）有最小值2-2ln．（5分）
（2）因为g（x）=f（x）-=px--2lnx，则g′（x）=p+-=，
由函数g（x）=f（x）-在其定义域内为单调函数得，g′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立或g′（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立．
①当p=0时，g′（x）=-＜0对x∈（0，+∞）恒成立（7分）
此时g（x）在其定义域内为减函数，满足要求．
②当p＞0时，g′（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立不可能，
由g′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立得px2-2x+p≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即p≥对x∈（0，+∞）恒成立，
∵当x∈（0，+∞）时，=≤1，
∴p≥1（9分）
③当p＜0时，g′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立不可能，
由g′（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立得px2-2x+p≤0对x∈（0，+∞）恒成立，即p≤对x∈（0，+∞）恒成立，
∵当x∈（0，+∞）时，＞0，
∴p≤0；
又∵p＜0，
∴此时p＜0．（11分）
综上所述，P的取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞）．．（12分）