Question

福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．
（Ⅰ）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；
（Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．

Answer

（I）利用对立事件概率求解公式，可求至少有一张彩票中奖的概率；
（Ⅱ）确定福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金的取值，求出相应的概率，可得其分布列与期望，利用期望大于0，即可求得结论．
【解析】
（I）设至少一张中奖为事件A，则P（A）=1-0.52=0.75…（4分）
（II）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5，0，-45，-145…（6分）
故ξ的分布列为

ξ 5 -45 -145
P 50% 50%-2%-p 2% p

…（8分）
所以ξ的期望为Eξ=5×50%+0×（50%-2%-p）+（-45）×2%+（-145）×p=2.5-90%-145p…（11分）
所以当1.6-145p＞0时，即…（12分）
所以当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…（13分）