Question

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿对角线AC折起到△PAC的位置，如图2所示，使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB，点E，F分别为线段PA，PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EFH∥平面PBC；
（Ⅱ）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等？请说明理由．

Answer

（Ⅰ）依题意，可证得△ADC（即△PDC）是等边三角形⇒H是AC的中点，从而可知HE∥PC，可知同理EF∥PB，利用面面平行的判断定理即可证得结论；
（Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，以H为坐标原点建立空间直角坐标系，继而可求得A，P，B，E的坐标，设平面PHB的法向量=（x，y，z），由可求得，通过对x赋值，可求得=（，-3，0），利用向量的数量积即可求得cos＜，＞，即HE与平面PHB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=PA=2，在直角三角形PHB中，PB=4，EF=PB=2，从而可知E为M即可．
【解析】
（Ⅰ）∵点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，
所以PH⊥平面ABC，所以PH⊥AC，…1分
∵在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4，
∴AC=4，∠CAB=60°，
∴△ADC是等边三角形，故H是AC的中点，…2分
∴HE∥PC…3分
同理可证EF∥PB，
又HE∩EF=E，CP∩PB=P，
∴平面EFH∥平面PBC；…5分
（Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，则A（0，-2，0），P（0，0，2），B（，1，0）…6分
因为E（0，-1，），=（0，-1，），设平面PHB的法向量=（x，y，z），
∵=（，1，0），=（0，0，2），
∴，即，
令x=，则y=-3，
∴=（，-3，0）…8分
cos＜，＞===…10分
∴直线HE与平面PHB所成角的正弦值为…11分
（Ⅲ）存在，事实上记点E为M即可…12分
因为在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=PA=2…13分
在直角三角形PHB中，PB=4，EF=PB=2，
所以点E到P，H，A，F四点的距离相等…14分