Question

设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．
（Ⅰ） 数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）； 

1	2	3	-7
-2	1		1

表1
（Ⅱ） 数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；

a	a^2-1	-a	-a^2
2-a	1-a^2	a-2	a^2

表2
（Ⅲ）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．

Answer

【解析】
（I）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可） 
（II）  每一列所有数之和分别为2，0，-2，0，每一行所有数之和分别为-1，1；①如果操作第三列，第一行之和为2a-1，第二行之和为5-2a，列出不等关系解得a，b；②如果操作第一行，可解得a值；
（III） 按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1-（-1）=2，但是每次操作都只
是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立．
【解析】
（I）
法1：
1 2 3 -7
-2 1 1

改变第4列得：

1 2 3 7
-2 1 -1

改变第2行得：

1 2 3 7
2 -1 1

法2：

1 2 3 -7
-2 1 1

改变第2行得：

1 2 3 7
2 -1 -1

改变第4列得：
1 2 3 7
2 -1 1

法3：

1 2 3 -7
-2 1 1

改变第1列得：

-1 2 3 7
2 1 -1

改变第4列得：

-1 2 3 7
2 1 -1

（写出一种即可）                                                  …（3分）

（II）   每一列所有数之和分别为2，0，-2，0，每一行所有数之和分别为-1，1；
①如果操作第三列，则
a a2-1 a -a2
2-a 1-a2 -a+2 a2

则第一行之和为2a-1，第二行之和为5-2a，
，解得a=1，a=2．…（6分）
②如果操作第一行

-a -a2+1 a a2
2-a 1-a2 a-2 a2

则每一列之和分别为2-2a，2-2a2，2a-2，2a2
解得a=1                                     …（9分）
综上a=1                                             …（10分）
（III） 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）
由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，
从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1-（-1）=2，
但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，
显然，数表中mn个数之和必然小于等于，
可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …（13分）